«Параллель Тучкова». Часть шестая, в которой появляется новый подозреваемый — сфероид

Теперь, прежде чем перейти к обстоятельному разговору о точности и достоверности определения нашего искомого параметра — широты главной параллели военно-топографической трехверстной карты, давайте коротко остановимся еще на двух моментах: влиянии самой модели и влиянии метода расчета на результат.

В этой части рассмотрим первый момент: влияние модели. Как помнит внимательный читатель, начиная со второй части я ограничился рассмотрением формул для сферы (и для этого были разумные обоснования, подробнее о них можно прочитать в упомянутой части). Пришло время дать количественную характеристику для сравнения двух моделей: построенной на сфере (расчетом по которой мы с вами занимались в предыдущей части) и немного более сложной модели, построенной на сфероиде (эллипсоиде вращения) [1].

ЕЩЕ НЕМНОГО МАТЕМАТИКИ (ТОЖЕ НЕСЛОЖНОЙ)

Выпишем из справочника [2] готовые формулы для сфероида.

Сейчас нас будет интересовать только формула (19-9) для вычисления E. На геометрическом смысле величин m, m1, M и M1 я остановлюсь в конце этой части [3], здесь же полезно будет указать, что величины m1 и M1 относятся к широте главной параллели φ(1) и вычисляются точно по тем же формулам, что и m с M для произвольной широты φ. Также для дальнейших рассуждений нам пока достаточно знать, что буквой e здесь традиционно обозначена величина эксцентриситета сфероида, а буквой a — его большая полуось.

Теперь точно так же, как мы с вами это делали для получения формулы (2*) для сферы, проведем некоторые упрощения. Во-первых, положим λ(0)=0, как это имеет место для центрального меридиана трехверстной карты. Во-вторых, обратим внимание, что числитель формулы (19-9) и каждое слагаемое знаменателя содержит множитель a, следовательно, этот множитель можно сократить. Наконец, чтобы не переписывать каждый раз громоздкое выражение в квадратных скобках [4] для M и M1, обозначим эту квадратную скобку как [...φ,e] и [...φ(1),e] соответственно.

Тогда получим:

E = m*λ / (m1/sinφ(1) + [...φ(1),e] - [...φ,e]) (8)

И СНОВА СЧИТАЕМ!

Теперь у нас почти все готово для нового расчета. Давайте только вначале добавим недостающие данные в новую таблицу, которую поместим, скопировав таблицу из предыдущей части на новый лист «Расчет по 3 меридианам (сфероид)», все же остальные данные оставим в том же виде, что они были на предыдущем листе с расчетом на сфере. Фрагмент новой таблицы с добавленными столбцами приведен на рисунке ниже, а сам файл с этой таблицей — по обновленной ссылке. Столбцы sinφ, m и m1 отдельных пояснений уже не требуют, а столбцы, обозначенные как M/a и M1/a, как мы с вами видели выше, тождественны «квадратным скобкам» [...φ,e] и [...φ(1),e] формулы (8) соответственно. Стоит обратить внимание, что я сохранил расчетное значение для ϱ (Ро) на сфере из предыдущей таблицы, а новое, рассчитанное на сфероиде, поместил в новый столбец «Ро сфероид» [5]. Это нам пригодится для последующего сравнения.

 Остается еще заметить, что в формулы для расчета m, m1, M и M1 входит также величина квадрата эксцентриситета сфероида e. Чтобы не загромождать дополнительно нашу основную расчетную таблицу и для большей универсальности, вынесем расчет эксцентриситета и его квадрата в отдельную небольшую табличку на этом же листе. В ней буквами a и b обозначены соответственно большая и малая полуоси сфероида [6], а f — его сжатие (именно эта величина, а не эксцентриситет обычно приводится в литературе для различных земных сфероидов). В качестве же конкретных параметров сфероида возьмем те данные, которые использовались для эллипсоида (сфероида) Вальбека во времена создания военно-топографической карты. Рассчитав величины e и квадрата e2, подставим их в формулы основной таблицы.

И самое последнее, что мы сделаем перед расчетом — это заменим в столбце E формулу (2*) для сферы на формулу (8) для сфероида. После чего нам останется, как мы это делали в предыдущей части, ввести в ячейку «Пробный угол» любое разумное стартовое значение для широты главной параллели, вызвать Решатель с теми же настройками, что и прежде, нажать кнопку «Решить» и... получить практически тот же результат, что и в предыдущем расчете на сфере [7]! Кроме того, и все другие величины, которые мы попутно рассчитывали (сумма квадратов отклонений, индекс корреляции, величина угла наклона диаграммы рассеяния и др.), останутся практически теми же самыми.

Можно даже провести такой же численный эксперимент, который мы делали в предыдущей части: выбрать случайным образом какое-то количество экспериментальных данных, и посмотреть, как зависит результат от этого количества. Читатель вполне правильно ожидает ответа: никак не зависит. Точно так же, как и при расчете на сфере, алгоритм сходится к широте главной параллели, близкой к конечному расчету, уже при выборе 10 (и даже 5!) случайных точек. И вновь — добавление дополнительных точек уже слабо сказывается на результате [8].

Таким образом, мы с вами показали важную вещь: усложнение нашей модели (рассмотрение сфероида вместо сферы) никак не сказывается на результатах расчета. А это значит, что у нас нет необходимости рассматривать более сложную модель со сфероидом и в дальнейшей работе можно использовать более простую модель с расчетами на сфере.

ТАК В ЧЕМ ЖЕ ОТЛИЧИЯ И ПОЧЕМУ МЫ ИХ НЕ ВИДИМ?

Чтобы это понять, давайте вначале еще раз выпишем формулы для угла E на сфере (2*) и на сфероиде (8):

E = λ*cosφ/(ctgφ(1) + φ(1) - φ) (2*)

E = m*λ / (m1/sinφ(1) + [...φ(1),e] - [...φ,e]) (8)

Полностью текст статьи вы можете прочитать, посетив страницу автора на Boosty.